In der Himmelsmechanik geht es darum, die Bahn der Planeten in unserem Sonnensystem zu bestimmen. Das zu Grunde gelegte, klassische Modell von Newton, das die Natur bereits sehr gut beschreiben kann, führt leider bereits im Fall einer Sonne mit lediglich zwei Planeten auf ein Gleichungssystem, das es bis heute nicht gestattet, eine explizite Lösung auszurechnen. Erst recht bei einer größeren Zahl von Planeten hat bis heute niemand eine explizite Lösung gefunden. Dieser Sachverhalt ist unter dem Stichwort Drei-Körper-Problem bekannt.
Einen Lösungsansatz bietet die Störungsrechnung. Dabei vereinfacht man das Modell (etwa, indem man die Massen der Planeten vernachlässigt), löst die Gleichungen des einfacheren Modells und versucht dann, die durch die Vereinfachung weggefallenen Kräfte (etwa die Anziehungskräfte, die von den Planetenmassen herrühren) einzuarbeiten.
Dies führt auf eine Lösung in Form einer unendlichen Reihe, von der gezeigt werden muss, dass sie einen endlichen Wert hat (in diesem Fall heißt die Reihe konvergent). Dann hat man eine Lösung des ursprünglichen Problems gefunden. Die Schwierigkeit dabei ist: Die Koeffizienten der Reihe sind durch gewisse Brüche gegeben, deren Nenner sehr klein werden. Dann werden die Brüche, also die Koeffizienten, sehr groß und das wirkt der Konvergenz der fraglichen Reihe entgegen. Dies ist das berühmte Problem der kleinen Nenner. Eine Möglichkeit, doch die Konvergenz und damit eine Lösung zu erhalten, bietet die von Kolmogoroff, Arnold und Moser entwickelte KAM-Theorie.
Gleichungen der klassischen Mechanik behandelt man am besten im von Hamilton und Jacobi eingeführten Hamilton-Jacobi Formalismus. Darin wird die zeitliche Entwicklung des gegebenen Systems durch eine sogenannte Hamiltonfunktion bestimmt (genauer: durch gewisse Ableitungen dieser Funktion). Die Hamiltonfunktion hängt von zwei Vektorvariablen x und y ab und wird mit H(x, y) bezeichnet. Formal bewirkt der oben beschriebene Ansatz der Störungsrechnung, dass die Hamiltonfunktion des einfacheren, ungestörten Problems, wir wollen sie H0 nennen, gar nicht von x abhängt: H0 = H0(y). Somit ergibt sich die Hamiltonfunktion des gestörten Problems als Summe
H(x, y) = H0(y) + H1(x, y).
In diesem Kontext spricht man nach Poincaré vom Fundamentalproblem der Dynamik, und es stellt sich wie folgt: Gegeben sei H0(y). Finde dann zu jeder Störung H1(x, y), deren Größe eine gewisse Grenze nicht überschreitet, eine Lösung zur gestörten Hamiltonfunktion H(x, y).
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Zuletzt geändert am 02.08.2018